2.1. Ecuaciones Diferenciales de variables separables.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden de variables separadas es una ecuación diferencial que contiene a lo más a la derivada primera de una función desconocida. Si la variable independiente y/o función desconocida es una función de la variable independiente $x$ entonces la ecuación diferencial de primer orden se escribe: $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ o lo que también podría ser : $F(x,y,{y}')=0$

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden de variables separadas.

Es un tipo de ecuación diferencial que la cual está escrita de la siguiente forma: $P(x)dx+Q(y)dy=0$ Vale decir, que las ecuaciones diferenciales de variables separadas también son de primer orden.

¿Como se resuelve una ecuación de variables separadas?.

Para obtener la solución de general de este tipo de ecuación es necesario, al menos así lo sugerimos nosotros, seguir una serie de pasos que mencionaremos a continuación:

Paso para obtener la solución general de una ecuación de variables separada o como resolver una ecuación de variables separadas paso a paso

En primera, debemos reconocer la forma de la ecuación de variables separadas, la cual es esta: $P(x)dx+Q(y)dy=0$ Y lo siguiente será, seguir los pasos a seguir para hallar la solución general de una ecuación de variables separadas.

Integrar cada unos de los términos de la ecuación diferencial
Se incluye nada más una constante arbitraria en solo un miembro de la ecuación
Despejamos a $y$ de ser posible

A continuación, presentamos solo un ejemplo de como hallar la solución general de una ecuación diferencial de variables separadas para luego pasar a la de variables separables, que suele confundirse con esta.

Obtenga la solución general de la ecuación diferencial de primer orden de variables separadas

$\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}dy+dx=0$

Solución:

Como primer paso, sabemos que es una ecuación de variables separadas por que cumple con la descripción que hemos hecho de ella anteriormente:

$P(x)dx+Q(y)dy=0$ $\therefore$ $P(x) = 1dx$ y $Q(y) = \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}dy$

teniendo en cuenta que tanto P(x) como Q(y) son funciones de x y de y respectivamente. Seguimos con los pasos, Integrando a cada termino de la ecuacion diferencial

$\int \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}dy$
$\int dx$

Notamos que ambas son integrales inmediatas, por lo que al resolverlas no queda:

$\int \frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}dy=\arcsin x +C_1$
$\int dx=x+C_2$

Por lo que al ordenar nos queda: $\arcsin x +C_1+x+C_2=0$ Sabemos que tanto $C_1$ como $C_2$ son dos constantes y que en consecuencia al sumarlas nos seguirá dando otro valor constante real que podemos llamar C y pasándolo al otro lado de la igualdad, tenemos:

$\arcsin y +x=C$

La C ha quedado positiva ya que su signo es irrelevante para este particular ya que representa un valor constante correspondiente a cualquier número real que al tener el signo opuesto sigue siendo un valor constante y por lo tanto podemos representarlo de ese modo. Luego habría que despejar y pero ya eso es tarea de otro curso.

Ejercicios de ecuaciones diferenciales de variables separables.

Presentamos una serie de ejercicios simples que te permitirán comprender el método de resolución de las ecuaciones diferenciales de variables separadas y separables, en este particular hacemos referencia a las de variable separables. Halle la solución general a la ecuación de variables separables presentadas a continuación:

$\left ( y^{2}x-3y+3y^{2}-2x-xy-6 \right )dx\, +\, \left ( yx^{2}+2xy-x^{2}-2x \right )dy=0$

A continuación vamos a seguir una serie de pasos que nos va a permitir hallar la solución general de la ecuación diferencial ordinaria de variables se parada, de una forma mucho mas simple y ordenada.

Pasos para resolver la ecuación diferencial de variables separadas

Paso 1, Factorizamos la ecuación, siempre que se pueda, hasta obtener una expresión mucho más cómoda para el desarrollo del ejercicio. Para este particular, encontramos conveniente esta expresión factorizada la ecuación diferencial de variables separada.

$\left [ y^{2}\left ( 3+x \right )-y\left ( 3+x \right )-2\left ( 3+x \right ) \right ]dx\, +\, \left [ x^{2}\left ( y-1 \right )2x\left ( y-1 \right ) \right ]dy=0$

De donde podemos seguir simplificando hasta obtener:

$\left ( 3+x \right )\left ( y^{2}-y-2 \right )dx\, +\, \left ( y-1 \right )\left ( x^{2}+2x \right )dy$

Paso 2, separando las variables y agrupándolas con sus semejantes, es decir, las $x$s con las $x$s y las $y$s con las $y$s nos queda:

$\frac{3+x}{x\left ( x+2 \right )}dx\, +\frac{y-1}{y^{2}-y-2}dy=0$

En esta última hemos hecho una pequeña simplificación a efectos de facilitar la integral que posteriormente tendremos que resolver.

$\int \frac{3+x}{x\left ( x+2 \right )}dx\, +\, \int \frac{y-1}{y^{2}-y-2}dy=0$

Paso 3, Integraremos una a una y luego uniremos el resultado $\left\{\begin{matrix} \int \frac{3+x}{x\left ( x+2 \right )}dx \left ( 1 \right )\\ \\ \int \frac{y-1}{y^{2}-y-2}dy\left ( 2 \right ) \end{matrix}\right.$

Resolviendo (1)

$\left ( 1 \right )=\int \frac{3+x}{x\left ( x+2 \right )}dx =\int \frac{x+2+1}{x\left ( x+2 \right )}dx$

$\left ( 1 \right )=\int \frac{x+2+1}{x\left ( x+2 \right )}dx=\int \frac{x+2}{x\left ( x+2 \right )}dx+\int \frac{1}{x\left ( x+2 \right )}dx$

$\left ( 1 \right )=\int \frac{1}{x}dx+\left ( \int \frac{1}{x\left ( x+2 \right )}dx \right )\frac{2}{2}$

A ver, hasta ahora no he hecho otra cosa más que simples operaciones matemáticas de factorización. En primera lo que hice fue descomponer $\left ( 3+x \right ) en \left ( x+2+1 \right )$ , de ese modo al aplicar la propiedad de la integral pudimos separarla para obtener

$\int \frac{1}{x}dx$

y en la segunda integral lo que hice fue multiplicarla toda por $\frac{2}{2}$ que si lo evaluamos bien, $\frac{2}{2}=1$ sin embargo, hacerlo de esta manera nos permite simplificar a integral.

Como paso siguiente sumamos y restamos x en el numerador de la integral, de esta forma:

$\left ( 1 \right )=\int \frac{1}{x}dx+\left ( \frac{1}{2}\int \frac{2+x-x}{x\left ( x+2 \right )}dx \right )$

Ahora, aplicamos propiedad de la integral y separamos.

Simplificando

$\left ( 1 \right )=\int \frac{1}{x}dx+ \frac{1}{2}\int \frac{1}{x}dx -\frac{1}{2}\int \frac{1}{\left ( x+2 \right )}dx$

Como vemos, son integrales inmediatas que dan como resultado:

$\left ( 1 \right )=\frac{3}{2}\ln x -\frac{1}{2}\ln \left ( x+2 \right )+C_1$

Continuamos con la integral

$\left ( 2 \right )=\int \frac{y-1}{y^{2}-y-2}dy$

No es objetivo nuestro profundizar el desarrollo del cálculo integral, con lo cual proseguiremos sin detenernos en los detalles del cálculo de la integral de fracciones parciales.

$\left ( 2 \right )=\int \frac{y-1}{y^{2}-y-2}dy\, \Rightarrow \int \frac{y-1}{\left ( y-2 \right )\left ( y+1 \right )}dy$

$\left ( 2 \right )=\int \frac{y-1}{\left ( y-2 \right )\left ( y+1 \right )}dy=\int \frac{A}{y-2}dy+\int \frac{B}{y+1}dy$

$y-1=A\left ( y+1 \right )+B\left ( y-2 \right )$

$\left\{\begin{matrix} si\; y=-1\Rightarrow B=\frac{2}{3}\\ \\si\; y=2\Rightarrow A=\frac{1}{3} \end{matrix}\right.$

Con lo cual,

$\left ( 2 \right )= \frac{1}{3}\ln \left ( y-2 \right )+\frac{2}{3}\ln \left ( y+1 \right )+C$

Finalmente, al sustituir (1) y ( 2) en

$\left\{\begin{matrix} \int \frac{3+x}{x\left ( x+2 \right )}dx \left ( 1 \right )\\ \\ \int \frac{y-1}{y^{2}-y-2}dy\left ( 2 \right ) \end{matrix}\right.$

Nos queda:

$\frac{3}{2}\ln x -\frac{1}{2}\ln \left ( x+2 \right )+\frac{1}{3}\ln \left ( y-2 \right )+\frac{2}{3}\ln \left ( y+1 \right )=C$

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Calculo IV: Ecuaciones Diferenciales