2.3. Ecuaciones Diferenciales Exactas.

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

${\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,\,\!}$

donde las derivadas parciales de las funciones M y N: ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}\,\!}$ y ${\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial x}}\,\!}$ son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función ${\displaystyle F(x,y)}$ tal que:

${\displaystyle dF(x,y)={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy\,\!}$

donde ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=M(x,y)\,\!}$ y ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}=N(x,y)\,\!}$.

Dado que ${\displaystyle F(x,y)}$ es una función diferenciable, entonces, por el teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:

${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\,\!}$.

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

• Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.

• Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

${\displaystyle F(x,y)=\int M\,dx+g(y)=\int N\,dy+g(x)\,\!}$

• Para despejar la función g se deriva ${\displaystyle F(x,y)\,\!}$ con respecto a la variable dependiente de g.

${\displaystyle {\frac {\partial {F}}{\partial {y}}}={\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)+{\frac {\partial {g(y)}}{\partial {y}}}\,\!}$

${\displaystyle {\frac {\partial {F}}{\partial {x}}}={\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)+{\frac {\partial {g(x)}}{\partial {x}}}\,\!}$

• Se iguala la derivada parcial recién calculada de ${\displaystyle F(x,y)}$ con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.

${\displaystyle N={\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)+{\frac {\partial {g(y)}}{\partial {y}}}\,\!}$

${\displaystyle g(y)=\int N\,dy-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)\right]\,dy\,\!}$

${\displaystyle M={\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)+{\frac {\partial {g(x)}}{\partial {x}}}\,\!}$

${\displaystyle g(x)=\int M\,dx-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)\right]\,dx\,\!}$

• Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general ${\displaystyle F(x,y)\,\!}$.

${\displaystyle F(x,y)=\int M\,dx+\int N\,dy-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)\right]\,dy=C\,\!}$

${\displaystyle F(x,y)=\int M\,dx+\int N\,dy-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)\right]\,dx=C\,\!}$