1.3. Solucion singular de una ecuacion Diferencial y problemas con valores iniciales.

Definición (Solucion singular de una ecuación diferencial)

Una solución de una ecuación diferencial se llama singular si no se puede obtener de la solución general al sustituir las constantes por valores, es decir, no es una solución particular.

Ejemplo
 La familia de rectas  es la solución general de la ecuación diferencial . La parábola  es una solución singular.

No es difícil comprobar que ambas son solución de la ecuación diferencial dada. En la imagen se muestra la solución singular y varias soluciones particulares.

 

 

Observe que la parábola es tangente en cada uno de sus puntos a una curva de la familia de rectas , cuando sucede esto decimos que la parábola  es la envolvente de la familia de rectas ; como se indica en la siguiente definición.

Problemas con valores iniciales.

En matemática, en el campo de las ecuaciones diferenciales, un problema de valor inicial (también llamado por algunos autores como el problema de Cauchy) es una ecuación diferencial ordinaria junto con un valor especificado, llamado la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. En física o en otras ciencias, es muy común que el modelado de un sistema utilice el problema de valor inicial para la resolución; en este contexto, la ecuación diferencial es una ecuación que evoluciona especificando cómo el sistema evoluciona con el tiempo, dadas las condiciones iniciales.

Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}$ con ${\displaystyle f\colon \Omega \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

donde ${\displaystyle \Omega }$ es un conjunto abierto ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$, junto con un punto en el dominio de ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \Omega }$,

llamada la condición inicial.

Una solución a un problema de valor inicial es una función ${\displaystyle y}$ que es una solución a la ecuación diferencial y satisface

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$.

En muchas más dimensiones, la ecuación diferencial se reemplaza con una familia de ecuaciones ${\displaystyle y_{i}'(t)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc )}$, y ${\displaystyle y(t)}$ se ve como el vector ${\displaystyle (y_{1}(t),\dotsc ,y_{n}(t))}$. Más generalmente, la función desconocida ${\displaystyle y}$ puede tomar valores sobre espacios dimensionales infinitos, tal como espacios de Banach o espacios de distribuciones.

Los problemas de valor inicial pueden extenderse a mayores órdenes utilizando sus derivadas de la misma forma que se utiliza la función, es decir ${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t))}$.