1.5. Trayectos Ortogonales.



Ejemplo:

Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de rectas que pasan por el origen, $ y=mx $

Paso 1:

Obtener la E.D.O asociada al haz de curvas y=mx, para ello se deriva la ecuación dada con respecto a x

y^{\prime} = m

para eliminar la constante arbitraria m se sustituye y^{\prime} en la ecuación del haz, obteniéndose la ecuación diferencial

y=xy^{\prime}

Paso 2

Debe sustituirse y^{\prime}, en la E.D.O obtenida en el paso anterior, por -\dfrac{1}{y^{\prime}} y así se obtiene la E.D.O asociada a la trayectoria ortogonal

y=x\left( -\dfrac{1}{y^{\prime}}\right)

Paso 3:

Se resuelve la ecuación diferencial obtenida en el paso 3, para obtener la trayectoria ortogonal. Para ello ordenamos la E.D.O

yy^{\prime}=-x

También puede escribirse como

y\dfrac{dy}{dx}=-x

Finalmente resolvemos esta ecuación diferencial, la cual es de variables separables

xdx+ydy=0

Integrando se obtiene la solución general

\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{2}=k

o bien

x^{2}+y^{2}= K

Por lo tanto la trayectoria ortogonal de la familia de rectas dadas es una familia de circunferencia con centro en el origen,como se observa en la  Figura.

Trayectorias ortogonales