3.3. Aplicaciones en la Quimica.
Hay muchas aplicaciones de ecuaciones diferenciales a los procesos químicos. Algunas de estas serán indicadas en los siguientes ejemplos.
Ejemplo:
Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua salada en la cual están disueltos 5lb de sal. Si el agua salada esta conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.
Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.
¿Cuanta sal está presente después de 10min?
¿Cuanta sal está presente después de un tiempo largo?
Formulación Matemática:
Sea A el numero de libras de sal en el tanque después de t minutos. Luego dA / dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y esta dada por:
dA / dt = tasa de cantidad ganada - tasa de cantidad perdida
Puesto que entran 2gal/min. conteniendo 3lb/gal de sal tenemos que la cantidad de sal que entra por minuto es:
2gal / min. x 3 lb./gal = 6 lb./min. Lo cual es la tasa a la cual se gana sal. Puesto que siempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras de sal en cualquier tiempo t, la concentración de sal al tiempo t es A libras por 10gal. La cantidad de sal que sale por minuto es, por tanto,
Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb./ 5min.
de: (dA / dt),(6 lb./min.) y (A lb./5min) tenemos que: dA / dt = 6 - A/5.
Puesto que inicialmente hay 5lb. de sal, tenemos que A = 5 en t = 0. Así, la formulación matemática completa es:
dA / dt =6 - A/5 A = 5 en t = 0
solución:
Usando el método de separación de variables, tenemos:
" (dA / 30 - A) = " (dt / 5) ó - ln (30 - A) = t / 5 + c
Puesto que A = 5 en t = 0, c = - ln 25. Así,
- ln (30 - A) = t/5 - ln 25 = ln[(30 - A)/25] = A = 30 - 25 e
La cual es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.
Al final de los 10min. la cantidad de sal es A = 30 - 25 e ² = 26.6 lb.
Después de un tiempo largo, esto es, cuando t!", vemos que A!30 lb., Esto también podría ser visto desde la ecuación diferencial haciendo dA / dt = 0, puesto que también A es una constante cuando se alcanza el equilibrio.
Mezclas químicas:
Ejemplo:
Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. Se encuentra que la tasa a la cual C se forma varia con las cantidades instantáneas de los químicos A y B presentes. La formación requiere 2lb. de A por cada libra de B. Sí 10lb. de A y 20lb. de B están presentes inicialmente, y si 6lb. de C se forman en 20min. ; Encontrar la cantidad del químico C en cualquier tiempo.
Formulación Matemática:
Sea x la cantidad en libras de C formadas en el tiempo t en horas. Luego dx / dt es la tasa de su formación para formar x lb. de C, necesitamos (2x / 3lb.) de A y (x / 3lb.) de B, puesto que se necesita que el químico A sea el doble de B. Por tanto, la cantidad de A presente al tiempo t cuando se forman x lb. de C es 10 - 2x/3, y la cantidad de B en este tiempo es 20 - x/3. Por tanto:
dx / dt = K [10 - (2x/3)] * [20 - (x/3)]; Donde K es la constante de la proporcionalidad. Esta ecuación puede escribirse de la siguiente manera: dx / dt = k[(15 - x) (60 - x)] donde k es otra constante. Hay dos condiciones. Puesto que el químico C inicialmente no está presente, tenemos x = 0 en t = 0. También x = 6 en t = 1/3. Necesitamos dos condiciones, una para determinar k, y la otra para determinar la constante arbitraria de la solución de la ecuación diferencial.
La formulación completa es:
dx / dt = k[(15 - x) (60 - x)] x = 0 en t = 0 ; x = 6 en t = 1/3
solución:
La separación de variables produce:
" dx / [(15 - x) (60 - x)] = " k dt = kt + C1
Ahora " dx / [(15 - x) (60 - x)] = " 1/45 [(1/15 - x) - (1/60 - x)] dx
= 1/45 ln [(60 - x) / (15 - x)]; así podemos mostrar que:
60 - x / 15 - x = C e
Puesto que x = 0 en t = 0, encontramos c = 4. Así
( 60 - x ) / ( 15 - x ) = 4 e
Puesto que x = 6 en t = 1/3, tenemos e = 3/2. Así, [(60 - x) / (15 - x)] = 4(e )³t = 4(3/2)³t ó x = 15 [ 1 - (2/3)³t]
1 - (1/4)(2/3)³t
Cuando t!", x!15lb.