2.5. Ecuaciones Diferenciales Lineales.

En matemáticas, una ecuación diferencial lineal es aquella ecuación diferencial cuyas soluciones pueden obtenerse mediante combinaciones lineales de otras soluciones. Estas últimas pueden ser ordinarias (EDOs) o en derivadas parciales (EDPs). Las soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales cuando son homogéneas forman un espacio vectorial, a diferencia de las ecuaciones diferenciales no lineales.

Tal vez, esta sea una de las ecuaciones diferenciales de mayor importancia, pues muchas de las aplicaciones que trataremos se modelan por medio de una ecuación de este tipo.

Una ecuación diferencial lineal tiene la forma: ${\displaystyle Ly=f}$ donde el operador diferencial L es un operador lineal, y es la función incógnita o desconocida (una función que podría ser dependiente del tiempo y(t)), y del lado derecho f es una función conocida de la misma naturaleza que y (denominada término de excitación). Para una función dependiente del tiempo se puede escribir la ecuación más detalladamente como: ${\displaystyle Ly(t)=f(t)}$ y también se puede usar la notación con corchetes: ${\displaystyle L[y(t)]=f(t)}$ El operador lineal L puede ser de la siguiente forma:2​ ${\displaystyle L_{n}(y)\equiv a_{n}(t){\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+a_{n-1}(t){\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{1}(t){\frac {dy}{dt}}+a_{0}(t)y}$ o sino: ${\displaystyle L_{n}(y)\equiv \sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}(y)}$ La condición de linealidad sobre L se da mientras no aparezcan productos de la función desconocida consigo misma, ni con ninguna de sus derivadas. Es conveninente reescribir esta ecuación en donde la forma del operador es: ${\displaystyle L_{n}(y)\equiv \left[\,a_{n}(t)D^{n}+a_{n-1}(t)D^{n-1}+\cdots +a_{1}(t)D+a_{0}(t)\right]y}$ donde D es el operador diferencial  ddt (es decir, Dy = y' , D2y = y",... ), y ak son funciones conocidas. Se dice que la ecuación tiene un orden n, si es el índice más alto de la derivada de y. Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones. Si f = 0 la ecuación se denomina homogénea y sus soluciones se denominan funciones complementarias. Esta solución es muy importante para el caso general, y que cualquier función complementaria puede sumarse a la solución de la ecuación cuando es inhomogénea (f ≠ 0) y resulta en otra solución. Cuando los ak son números, la ecuación se dice que tiene coeficientes constantes. Una ecuación diferencial lineal de primer orden que puede escribirse en la forma donde  y  son funciones reales, se llama ecuación diferencial lineal.

 

Observación: una ecuación diferencial lineal de orden  tiene la forma

donde los coeficientes  son funciones reales y . Note que cuando  tenemos que

y al dividir por 

La cual tiene la forma

 

donde  y .