3.1. Aplicaciones en la Geometria.


En matemáticas,  matemáticas,  la geometría geometría diferencial diferencial es el estudio estudio de la geometría  geometría usando las usando las herramientas del herramientas del análisis matemático  análisis matemático y del álgebra multilineal.  álgebra multilineal. La geometría que emana de una ecuación diferencial, nos muestra algunas familias de ecuaciones que podemos resolver por métodos ad hoc. Ad hoc generalmente se refiere a una solución específicamente elaborada para un  problema o fin preciso y, por tanto, no  problema o fin preciso y, por tanto, no generaliza generalizable ni utilizable para otros propósitos. ble ni utilizable para otros propósitos. En sentido amplio, ad hoc puede traducirse como: «específico» o «específicamente». Más allá, vislumbramos un océano de ecuaciones diferenciales “no explícitamente solubles”. Ese es el reto. Geométricamente, una ecuación diferencial dx/dy = f(x, y) tiene como solución una familia de curvas reales F = {γ} en el plano. Inversamente, ¿cuáles son las propiedades que caracterizan que una curva plana γ aparezca como solución de una ecuación diferencial? (Hay un paralelismo obvio, ¿cuáles números aparecen como solución de una ecuación algebraica?) solución de una ecuación algebraica?) Parece que ca Parece que cada curva plana γ es un objeto sencillo da curva plana γ es un objeto sencillo,  pero entonces; entonces; ¿por qué es difícil difícil resolver resolver una ecuación ecuación diferencial? diferencial? Usaremos Usaremos rudimentos de geometría diferencial, algebraica y análisis real para explorar las curvas γ y sus familias F.

Marco Teórico. 

Geometría analítica: Es una rama de las matemáticas que estudia con profundidad las figuras, sus distancias, sus áreas, puntos de intersección, ángulos de inclinación, puntos de división, volúmenes, etc. Es un estudio más profundo para saber con detalle todos los datos que tienen las figuras geométricas.  figuras geométricas.  Estudia las Estudia las figuras figuras geométricas geométricas mediante técnicas básicas del mediante técnicas básicas del análisis análisis matemático matemático y del álgebra  álgebra en un determinado en un determinado sistema de coordenadas.  sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría con la geometría cartesiana, cartesiana, continúa con la aparición de la  continúa con la aparición de la geometría diferencial geometría diferencial de Carl Gauss Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.


Ecuaciones diferenciales:Una ecuación ecuación diferencial diferencial es una ecuación  ecuación matemática  matemática que relaciona una que relaciona una función  función con sus derivadas.  derivadas.  En las   En las matemáticas matemáticas aplicadas, aplicadas,  las funciones usualmente representan   las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en diversas disciplinas, incluyendo la disciplinas, incluyendo la ingeniería, física, la química, economía, y la biología.

Solo las ecuaciones diferenciales más simples se pueden resolver mediante fórmulas
explícitas; sin embargo, se pueden determinar algunas propiedades de las soluciones de
una cierta ecuación diferencial sin hallar su forma exacta. ejemplo: dy/dx=0

Ejemplos

Problema 1. En cada punto (x,y) de una curva la subtangente es proporcional al cuadrado de la abscisa. Hallarla curva si pasa también por el punto (1,e).

Solución. Tomando el enunciado del inciso i), la ecuación diferencial es

\displaystyle y \frac{dx}{dy} = kx^2

Continuando

\displaystyle \frac{dx}{x^2} = k \frac{dy}{y}

\displaystyle - \frac{1}{x} + C= k \ln{y}

Si se toma el punto (1,e), el valor de C es

\displaystyle -\frac{1}{1} + C = k \ln{e}

\displaystyle -1+ C = k

C = k+1

Sustituyendo, la curva es

\displaystyle -\frac{1}{x} + k + 1 = k \ln{y}

\displaystyle \therefore k \ln{y} = k + 1 - \frac{1}{x}

Problema 2. Hallar la familia de curvas para las que la longitud de la parte de la tangente entre el punto de contacto (x,y) y el eje y es igual interceptado en y por la tangente.

Solución. Tomando las ecuaciones de los incisos g y e, y aplicando la igualación, se tiene lo siguiente

\displaystyle x \sqrt{1+ (\frac{dy}{dx})^2} = y - x \frac{dy}{dx}

\displaystyle x^2 \left[1 + (\frac{dy}{dx})^2 \right] = \left( y - x \frac{dy}{dx} \right)^2

\displaystyle x^2 + x^2 (\frac{dy}{dx})^2 = y^2 - 2xy \frac{dy}{dx} + x^2 (\frac{dy}{dx})^2

\displaystyle x^2 - y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = 0

\displaystyle (x^2 - y^2) \ dx + 2xy \ dy = 0

Por inspección, esta ecuación diferencial es homogénea de segundo grado. Utilizando la siguiente transformación: y = vx y dy = x dv + v dx, la ecuación diferencial tiene la siguiente forma

(x^2 - v^2 x^2 ) \ dx + 2x^2 v \ (x dv + v dx) = 0

(x^2 - v^2 x^2 ) \ dx + 2x^3 v \ dv + 2x^2 v^2 \ dx = 0

(x^2 - v^2 x^2 + 2x^2 v^2) \ dx + 2x^3 v \ dv = 0

(x^2 + v^2 x^2) \ dx + 2x^3 v \ dv = 0

x^2 (1+v^2) \ dx + 2x^3 v \ dv = 0

\displaystyle \frac{x^2 (1+v^2)}{x^3 (1+v^2)} dx + \frac{2x^3 v}{x^3 (1+v^2)} dv = 0

\displaystyle \frac{1}{x} dx + \frac{2v}{(1+v^2)} dv = 0

\ln{x} + \ln{(1+v^2)} = C

La curva pedida es

\displaystyle \ln{x} + \ln{(1+ \frac{y^2}{x^2})} = C

\displaystyle \therefore x^2 + y^2 = Cx

Problema 3. La superficie del sector formado por un arco de una curva y los radios vectores de sus puntos extremos es la mitad de la longitud del arco. Hallar la curva.

Solución. Los radios vectores a tomar son \theta = \theta_1 y \theta = \theta. Tomando las ecuaciones pertenecientes a los incisos q y p

\displaystyle \int_{\theta_1}^{\theta}{\frac{1}{2} \rho^2 \ d\theta} = \int_{\theta_1}^{\theta}{\frac{1}{2} \sqrt{(\frac{d\rho}{d \theta})^2 + \rho^2} \ d\theta}

Derivando con respecto a \theta en ambos miembros

\displaystyle \frac{d}{d\theta} \left[\int_{\theta_1}^{\theta}{\frac{1}{2} \rho^2 \ d\theta} \right] = \frac{d}{d\theta} \left[\int_{\theta_1}^{\theta}{\frac{1}{2} \sqrt{(\frac{d\rho}{d \theta})^2 + \rho^2} \ d\theta} \right]

\displaystyle \frac{1}{2} \rho^2 = \frac{1}{2} \sqrt{(\frac{d\rho}{d \theta})^2 + \rho^2}

\displaystyle \rho^2 = \sqrt{(\frac{d\rho}{d \theta})^2 + \rho^2}

Realizando un acomodo en esta última ecuación

\displaystyle \rho^4 = (\frac{d\rho}{d \theta})^2 + \rho^2

\displaystyle \pm \sqrt{\rho^4 - \rho^2} = \frac{d\rho}{d\theta}

\displaystyle \frac{d\rho}{d\theta} = \pm \rho \sqrt{\rho^2 - 1}

\displaystyle d\rho = \pm \rho \sqrt{\rho^2 - 1} \ d\theta

Si \rho^2 = 1, la última ecuación se reduce a

\displaystyle d\rho = \pm \rho \sqrt{1 - 1} \ d\theta

d\rho = 0

Se puede comprobar fácilmente que \rho = 1 satisface la condición del problema.

Si \rho^2 \ne 1, la última ecuación se reduce a

\displaystyle \frac{d \rho}{\rho \sqrt{\rho^2 - 1}} = \pm d\theta

\displaystyle \sec^{-1}{\rho} = C \pm \theta

\rho = \pm \sec{C \pm \theta}

Por tanto, las condiciones están satisfechas por la circunferencia \rho = 1 y la familia de curvas \rho = \sec{(C \pm \theta)}.

Problema 4. Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de cardioides \rho = C (1+\sin{\theta}).

Solución. Derivando la función con respecto a \theta

\displaystyle \frac{d\rho}{d\theta} = C \cos{\theta}

Resolviendo para C

\displaystyle C = \frac{1}{\cos{\theta}} \frac{d \rho}{d \theta}

Sustituyendo C en la ecuación del problema

\displaystyle \rho = \frac{1}{\cos{\theta}} \frac{d \rho}{d \theta} (1 + \sin{\theta})

\displaystyle \frac{d \rho}{d \theta} = \frac{\rho \cos{\theta}}{1 + \sin{\theta}}

Recordando el caso 3 para trayectorias ortogonales, se reemplaza \displaystyle \frac{d\rho}{d\theta} = - \rho^2 \frac{d\theta}{d\rho}. Así que la ecuación diferencial tiene una nueva forma

\displaystyle -\rho^2 \frac{d\theta}{d\rho} = \frac{\rho \cos{\theta}}{(1+\sin{\theta})}

\displaystyle (\sec{\theta} + \tan{\theta}) \ d\theta + \frac{d\rho}{\rho} = 0

Integrando

\displaystyle \ln{(\sec{\theta} + \tan{\theta})} - \ln{\cos{\theta}} + \ln{\rho} = C

Despejando \rho

\displaystyle \rho = \frac{C \cos{\theta}}{\sec{\theta} + \tan{\theta}} = C (1-\sin{\theta})