2.2. Ecuaciones Diferenciales Homogeneas .


Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior.Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea.

                                          Funciones Homogeneas.

Una función $f: D \subset \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }^2 \rightarrow \mbox{$\ I \hspace{-1.23mm} R $\ }$ se dice homogénea de grado $n$ si
\begin{displaymath} f(tx,ty) = t^n f(x,y) \end{displaymath}

para todo $t > 0$ y todo $(x,y) \in D$.

 

Ejemplo

  1. La función $f(x,y)= \frac{1}{\sqrt{x+y}}$ es homogéénea de grado $\frac{1}{2}$.

  2. Las funciones $f(x,y)=e{\frac{x}{y} }$, $f(x,y)= \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} $, $f(x,y)=\frac{x}{2x+y}$ son homogéneas de grado 0.

  3. Las funciones $f(x,y)= x^2 + y^2$, $f(x,y)=xy$, $f(x,y)=x^2-2xy+y^2$ son homogéneas de grado 2.

Ahora definimos lo que es una ecuación diferencial homogénea.

Ecuaciones Diferenciales Homogeneas.

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, $y^{\prime} = f(x,y)$, es homogénea si la función $f(x,y)$ es homogénea de orden cero.


Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma


\begin{displaymath} M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 \end{displaymath}


sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes $M(x,y)$ y $N(x,y)$ son funciones homogéneos del mismo grado.